حصاد درس توزيع ذي الحدين | تدريبات محلولة اختيار من متعدد مع تطبيقات واقعية

تدريبات محلولة على توزيع ذي الحدين تشمل حساب احتمالات النجاح والفشل، مسائل تطبيقية (فريق كرة قدم، عمليات جراحية، تخمين في الاختبار)، مع ربط بمواضيع سابقة للمراجعة.

  

 

في هذا الموضوع نراجع توزيع ذي الحدين من خلال حصاد تدريبي بأسئلة اختيار من متعدد ومسائل تطبيقية، مع خطوات حل مختصرة تساعدك على فهم الفكرة بسرعة قبل الاختبار.

---

متى نستخدم توزيع ذي الحدين؟

• عدد المحاولات ثابت = ن
• لكل محاولة نتيجتان فقط: نجاح/فشل
• احتمال النجاح ثابت = p (لا يتغير)
• المحاولات مستقلة عن بعضها

القانون الأساسي:
إذا كان س ~ ث(ن ، p) فإن:
P(س = r) = C(n,r) × p^r × (1-p)^(n-r)

---

تطبيق (1): فريق كرة قدم

احتمال فوز فريق كرة القدم خارج ملعبه = 0.69. إذا لعب الفريق 5 مباريات خارج ملعبه، أوجد احتمال أن يفوز في 3 مباريات.

الحل:
س ~ ث(5 ، 0.69)
P(س=3) = C(5,3) × (0.69)³ × (0.31)²
= 10 × 0.69³ × 0.31²
≈ 0.316 (تقريبًا)

---

تطبيق (2): عمليات جراحية

احتمال نجاح عملية جراحية = 0.9. إذا أُجريت العملية 10 مرات، أوجد احتمال فشل عملية واحدة على الأكثر.

الفكرة: نعدّ الفشل هو "النجاح" في نموذج ذي الحدين (أسهل).
احتمال الفشل q = 1 - 0.9 = 0.1
ليكن ف ~ ث(10 ، 0.1)

مطلوب: P(ف ≤ 1) = P(ف=0) + P(ف=1)
P(ف=0) = (0.9)¹⁰
P(ف=1) = C(10,1) × (0.1) × (0.9)⁹
إذن: P(ف ≤ 1) ≈ 0.736

---

تطبيق (3): التخمين في اختبار اختيار من متعدد

تقدّم أحمد لاختبار مكوّن من 5 أسئلة اختيار من متعدد، لكل سؤال 4 بدائل، وأجاب بالتخمين. أوجد:

• أ) احتمال أن يجيب على سؤال واحد صحيح
• ب) احتمال أن يجيب على 3 أسئلة غير صحيحة

المعطيات: p = 1/4 = 0.25 ، و(1-p) = 0.75 ، ن = 5

أ) P(الصحيح=1):
P(س=1) = C(5,1) × (0.25)¹ × (0.75)⁴
≈ 0.396

ب) 3 أسئلة غير صحيحة:
هذا يعني "الخطأ" يحدث 3 مرات من 5: P(خطأ=3) = C(5,3) × (0.75)³ × (0.25)²
≈ 0.264

---

روابط ذات صلة للمراجعة السريعة:

• تدريبات التكامل (العملية العكسية للتفاضل) – محلولة
• القيمة المتوقعة والتباين والانحراف المعياري لتوزيع ذي الحدين

ملاحظات ذهبية قبل الاختبار

• انتبه لمعنى على الأكثر = (≤).
• انتبه لمعنى على الأقل = (≥).
• إذا كان المطلوب "ليس أكبر من 0" فهذا يعني غالبًا P(س=0).
• اكتب (1-p) دائمًا على أنه احتمال الفشل لتجنب الأخطاء.