حصاد درس القيمة المتوقعة والتباين والانحراف المعياري لتوزيع ذي الحدين

حصاد درس توزيع ذي الحدين: القيمة المتوقعة والتباين والانحراف المعياري | تدريبات محلولة

في هذا الدرس التفاعلي نراجع أهم أفكار توزيع ذي الحدين من خلال أسئلة حصاد تشمل القيمة المتوقعة والتباين والانحراف المعياري، مع خطوات حل واضحة ومختصرة تساعدك على المذاكرة السريعة قبل الاختبار.

 

 

تنبيه مهم: في توزيع ذي الحدين إذا كان س ~ ث(ن ، p) فإن:

• القيمة المتوقعة: ت(س) = np
• التباين: ع²(س) = np(1 - p)
• الانحراف المعياري: ع(س) = √(np(1 - p))

---

تدريبات حصاد على (ت، ع²، ع) في توزيع ذي الحدين

س1) إذا كان س ~ ث(7 ، 0.2) أوجد القيمة المتوقعة ت(س)

نستخدم القانون: ت(س) = np

ت(س) = 7 × 0.2 = 1.4

---

س2) إذا كان ص ~ ث(8 ، p) وكانت ت(ص) = 2 أوجد قيمة p

بما أن: ت(ص) = np ⇒ 2 = 8p

p = 2 ÷ 8 = 0.25

---

س3) إذا كان و ~ ث(10 ، 0.52) أوجد الانحراف المعياري ع(و)

ع(و) = √(np(1-p))

ع(و) = √(10 × 0.52 × 0.48) = √(2.496) ≈ 1.58

ملاحظة: إذا طُلب التقريب لعدد معنوي محدد، اتبع تعليمات السؤال بدقة.

---

س4) إذا كان س ~ ث(10 ، 0.12) احسب احتمال (س > ت(س))

أولًا نحسب القيمة المتوقعة:

ت(س) = 10 × 0.12 = 1.2

بما أن س متغير عددي صحيح، فإن: س > 1.2 تعني س ≥ 2. لذا: P(س > ت(س)) = P(س ≥ 2) = 1 - [P(س=0) + P(س=1)].

---

س5) إذا كان ص ~ ث(n ، p) وكانت ت(ص) = 2.7 ، ع²(ص) = 1.180 أوجد n

لدينا: np = 2.7 و np(1-p) = 1.180

بقسمة المعادلة الثانية على الأولى: (1 - p) = 1.180 ÷ 2.7 ≈ 0.437 ⇒ p ≈ 0.563

n = 2.7 ÷ 0.563 ≈ 4.80 (ثم نتحقق حسب صيغة السؤال والاختيارات إن كانت موجودة)

---

مسألة تطبيقية: أعواد الثقاب

أظهرت دراسة أن 1% من أعواد الثقاب تالفة، وكل علبة تحتوي على 1000 عود. إذن: س ~ ث(1000 ، 0.01)

أ) احسب العدد المتوقع للأعواد التالفة في علبة واحدة

ت(س) = np = 1000 × 0.01 = 10

ب) احسب التباين لعدد الأعواد التالفة في علبة واحدة

ع²(س) = np(1-p) = 1000 × 0.01 × 0.99 = 9.9

---

خلاصة سريعة للمذاكرة

• إذا كان س ~ ث(ن ، p) فإن ت(س)=np
• التباين ع²(س)=np(1-p)
• الانحراف المعياري ع(س)=√(np(1-p))
• لا تنسَ أن الاحتمالات في ذي الحدين تعتمد على n و p بدقة.